【知识仓库】数学

在继续做物理知识总结前，先总结一些数学的知识点，方面后面对物理的理解。数学的笔记都很长，也不好分开，所以可能会反复回来修改与增加。

偏微分 (Partial Differentiation)

对于一个函数 f(x, y) ，我们可以做偏微分

\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y,\ \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x

脚标经常省略。这里的脚标代表着哪个变量保持不变。

\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},

\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}

最后一个关系式非常重要。

\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y} ，可以考虑成运算符 (Operators)。

全微分 (The Total Differential)

对于函数 f(x, y) 的全微分为

df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy

恰当&非恰当微分 (Exact & Inexact Differentials)

比方说

df = x dy + y dx

就是一个恰当微分，因为 \frac{\partial f}{\partial x} = y,\ \frac{\partial f}{\partial y} = x ，我们可以看出

f(x, y)= xy + const.

但是如果

\delta f = x dy - ydx

这里用了 \delta f 而不是 df ，是因为这是一个非恰当微分。（书写还常用d上面加一杠）

因为找不到一个 f(x, y) 能满足上面式子。

例子：在热力学中有一个经典的例子

dU = \delta Q + \delta W

表示内能 (Internal Energy) 的改变来源于热能 (Heat) 的输入或流失以及做功 (Work Done)

这个和是一个恰当微分，但是后面两个项都是非恰当微分。

利用热力学势 (Thermodynamic Potentials) 可以改写成一个恰当微分

dU = T dS - p dV

（关于具体物理的知识点后续会补齐）

判断恰当微分

因为全微分可以被写成

df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = Adx + Bdy

又因为

\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}

我们可以通过

\frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x}

来判断是否是恰当微分。如果函数 f(x,y) 存在，那么上述等式一定成立。

相反，如果等式不成立，也就代表不存在此函数，也就是一个非恰当微分。

例子： dU = T dS - p dV

\Rightarrow T = \frac{\partial U}{\partial S},\ -p = \frac{\partial U}{\partial V}

\Rightarrow \frac{\partial^2 U}{\partial V \partial S} = \frac{\partial T}{\partial V},\ \frac{\partial^2 U}{\partial S \partial V} = -\frac{\partial p}{\partial S}

所以

\frac{\partial T}{\partial V} = - \frac{\partial p}{\partial S}

这也是四个麦克斯韦关系式 (Maxwell Relations) 中的一个。

偏微分中的链式法则 (Chain Rule)

因为全微分是

df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy ，

因此链式法则一般被写成

\frac{df}{ds} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{ds}

例子：对于2D平面，我们通常会用 P(x, y) 代表平面一点，但是同样的，我们也可以用极坐标 (Polar Coordinates) 去表示它 P (r, \theta) 。

两者之间的转换如下

x = r \cos(\theta),\ y = r \sin(\theta)\\ \tan(\theta) = \frac{y}{x},\ r^2 = x^2 + y^2

假如有两个函数都是描述一个场 (Field)，分别用了不同的坐标系，即

f(x, y) = g(r, \theta)

那么如果走了一小步， r \rightarrow r+dr,\ \theta \rightarrow \theta + d\theta ，那么通过链式法则

\frac{dg}{dr} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{dg}{d\theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta}

把所有条件代入便好。

我们也可以将结论写成便于使用的运算符

\frac{\partial }{\partial r} = \cos(\theta) \frac{\partial }{\partial x} + \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial \theta} = -r\sin(\theta) \frac{\partial }{\partial x} + r\cos(\theta) \frac{\partial }{\partial y}

以及

\frac{\partial }{\partial x} = \cos(\theta) \frac{\partial }{\partial r} - \frac{1}{r} \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial \theta} \\ \frac{\partial }{\partial y} = \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{r} \cos(\theta)\frac{\partial }{\partial \theta}

注意，对于函数 f(x, y) ， \frac{dy}{dx} = 0 ，因为两个都是自变量。

泛化链式法则

将上面的例子泛化一下可以写出下面的关系式

\frac{\partial }{\partial u_j}= \sum_i \frac{\partial x_i}{\partial u_j} \frac{\partial}{\partial x_i}

这里是用 x_1, x_2,...,x_i,... 代表一个坐标系， u_1, u_2, ..., u_j,... 代表另一个。

警告！

一般我们会认为 \frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1} ，但是这在偏微分中不一定成立。这在不省略脚标的情况下就很明显了。

例子： \left( \frac{\partial r}{\partial x} \right)_y,\ \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)_{\theta}

从图像中表示就是

这个图考虑的就是 \left( \frac{\partial r}{\partial x} \right)_y ，在 y 不变的情况下， x 的改变造成了 r 发生了改变 (图中的 \rho )，这时的改变会同时带来 \theta 的变化。

而这个图就是 \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)_{\theta} ，在 \theta 不变的情况下， r 的改变造成了 x 的改变，这时 y 也会发生变化。

当然，如果脚标所指的变量为统一个值，则没问题

\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_{\theta} = \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_{\theta}

方向导数 (Directional Derivatives)

这里重点就是一个梯度 (Gradient)，或grad

\vec \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{k}

这里 f 是一个标量函数，所以出来的梯度函数 \vec \nabla f 就是一个向量。而数值上，他会给出该标量函数在某个点最大的梯度方向。而垂直于这个向量的方向梯度为0 （等梯度）。