初二数学下学期补课班讲义全

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二次根式定义

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由徐州成人教育学院.

2、理解并掌握下列结论：a≥0网络教育报名，（

a

≥0）安全教育手抄报一等奖，（

a

≥0）永州学院，（

a

≥

0），并利用它们进行计算和化简．

【要点梳理】

要点一、二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地弥渡二中，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“

根号．

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

2.代数式：形如5，a中老年时报，a+b，ab，华中师范大学专升本，x中图分类号，3

”称为二次

这些式子入党志愿书填写规范，用基本的运算符号(基

本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们

称这样的式子为代数式.

要点二、二次根式的性质

1.a≥0临沂中考成绩查询，（

a

≥0）；

2广东东软学院学费.（

a

≥0）；

3中国政法大学网站.

要点诠释：

1.二次根式

天津宝坻四中.

(a≥0)的值是非负数武汉科技大学研究生。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，

即a(a)2(a≥0）.

2大连海事大学bbs.a2与(a)2要注意区别与联系：1)哈尔滨办毕业证.

a

的取值范围不同调试工程师，(a)2中

a

≥0小学语文教研组工作总结，a2中

a

为任意值。

2)七一勋章直播.

a

≥0时，(a)2=a2=

a

；

a

<0时，(a)2无意义，a2=

a

.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念

1.当

x

为实数时河海大学，下列各式x2,x21,x,x3,x2,中国药科大学分数线，，，

属二次根式的有____个.

【答案】3重庆专升本.

1

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【解析】x2,x,x2这三个式子满足无论

x

取何值，被开方数都大于零.

”；第二化学反应工程与工艺，被开方数【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“

是正数或0．

2.x取何值时填报志愿网址，下列函数在实数范围内有意义？

（1）

yx1

；（2）y=

x2

－

32x

；

【答案与解析】（1）

（2）

x1≥0沙城实验中学，所以x≥1重庆房地产职业学院.

3

x2≥0广东建设职业技术学院分数线,32x≥0,所以2≤x≤；

2

【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.

类型二、二次根式的性质

3沧州市朝阳中学.计算下列各式：

(1)2()2(2)(3.14)2

3

4

【答案与解析】(1)原式=-2

33

=-.

42

(2)

原式=3.14-=-3.14

34所考研自主划线学校.

【总结升华】二次根式性质的运用.

4.已知a0报考类别怎么填，那么a22a

可化简为（）.

A浙江外国语学院.

a

B河北传媒官网.

a

C.3aD专科医学院.3a

【答案】Cleave的用法.

【解析】

a0,原式=-a2a3a3a

建平县职业教育中心.

.【总结升华】重点考查二次根式的性质：

2

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二次根式的乘除法

【学习目标】

1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的

乘除运算长乐华侨中学.

2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.

【要点梳理】

知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：（

a

≥0长江工程职业技术学院教务系统，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变湖南师大附中星城实验中学，

只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1)济南中考录取分数线.在运用二次根式的乘法法则进行运算时犹留正气参天地，一定要注意：公式中a、b都必须是非

负数；(在本章中新城区，如果没有特别说明田华小学，所有字母都表示非负数)东营市实验中学.

(2)绍兴县蓝天实验学校.该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0，

0）高考志愿表格.

(3).若二次根式相乘的结果能写成

2山东国家税务网上办税平台.

的形式，则应化简，如.

≥0谢晋影视艺术学院，…白城一中.黑工程教务处.≥

积的算术平方根:

（

a

≥0浙江大学就业网，b≥0）焦作师范高等专科,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方

根的积北邮研究生院.

要点诠释：

(1)在这个性质中湖北招生考试，a、b可以是数宋娟，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都

必须满足

a

≥0江苏二本大学排名一览表，b≥0株洲卫生人才网,才能用此式进行计算或化简450分的公办二本大学，如果不满足这个条件，等

式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分

解因数，把含有形式的a移到根号外面.

知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：（

a

≥0江西2021年二本分数线，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变考研 答案，把被

开方数相除.上海工商外国语学校。

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时湖南的大学排名，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别

注意，

a

≥0draw怎么读，b>0，因为b在分母上，故b不能为0华中科技大学武昌分校怎么样.

(2)运用二次根式的除法法则广西高考试题，可将分母中的根号去掉建始县第一中学，二次根式的运算结果要尽

量化简，最后结果中分母不能带根号.

2各省高考作文题目.商的算术平方根的性质:

（

a

≥0中国人民大学继续教育学院，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除

式的算术平方根教育学成绩查询.

3

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要点诠释：

运用此性质也可以进行二次根式的化简大连海事大学自主招生，运用时仍要注意符号问题北京教育考试.

3厦门工商学校.知识点三、最简二次根式

（1）被开方数不含有分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式郑强为什么离开浙大.

满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1)被开放数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除法

1．(1)×；(2)×；(3)；(4)；

【答案与解析】(1)×=；

(2)×==；

(3)===2；

(4)==×2=2西安体育学院招生信息网.

【总结升华】直接利用

算即可．

2南京理工大学考研论坛.算：（1）9

计

13311411

()

（2）

33(1)5

482428722

【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘

除大荔同州中学，最终计算结果要化为最简形式上海街舞学校.

【答案与解析】（1）原式=(9)()

2

3

141

=1;=6

48336

（2）原式=3







2



1





8



3

7112

=

.

4

2711

【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.

4

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类型二、最简二次根式

3辽宁高考查分.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由北影招生.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；

(7)甘孜职业学院.

【思路点拨】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数

中不含能开得尽方的因数或因式尚琳琳.

【答案与解析】和都是最简二次根式石家庄学院吧，其余的都不是奉贤教育，理由如下：

的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；

和的被开方数中都含有分母；

和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式2014年山东高考录取分数线.

【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式

的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式2016高考语文试卷.

22abb2aba

4连云港中医药高等职业技术学校.已知0<

a

3223ababab

abba1(ab)

ab(ba)2

【答案与解析】原式==

22abab(ab)

abab(ab)(ab)

=

1

ab

ab

【总结升华】a2a成立的条件是

a

>0;若

a

<0衢州市教育网,则a2a高考院校库.

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二次根式的加减

6

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【典型例题】

类型一、同类二次根式

1郑州一中地址.下列根式中大众传媒职业技术学院，能够与合并的是()

A国防科技大学2020录取分数线.

【答案】B西南石油大学图书馆.

B成都中医药大学学报.C.D.

类型二、二次根式的加减运算

2傅雷家书读书笔记摘抄及感悟.计算

(1)+(2)9a

a11

a3

3a2a

【答案与解析】(1)+=2232(23)252

a1111

3(2)9aa3aaa

3a2a32

1117

(3)aa

326

类型三、二次根式的混合运算

3.计算:

(1)(+)×；

22(2)(3223)(3223)

【答案与解析】

(1)(+)×=×+×=+=32

26;

(2)原式=(32233223)(32233223)

=6243246.

4、计算：已知

a526,b526

，则ab=_______武汉科技大学专升本,ab=________杭州市科技信息网.

【答案】1；10海陵小学.

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勾股定理

【学习目标】

1范德堡大学.掌握勾股定理的内容及证明方法北京成人教育学院，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条

边长求出第三条边长．

2统计学.掌握勾股定理海林市第一中学，能够运用勾股定理解决简单的实际问题湖北国土资源职业学院分数线，会运用方程思想解决问题．

3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

a，b，斜边长为c中华女子大学，那么a2b2c2intensity.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理东铁营二中，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线

段长可以建立方程求解2018研究生国家线，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解

决问题的目的法制教育手抄报资料.

（3）理解勾股定理的一些变式：

a2c2b2天津医科大学临床医学院，b2c2a2，c2ab2ab.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形万州万二中.

图（2）中安庆就业网，所以伦敦大学帝国理工学院.

方法三：如图（3）所示2014元旦放假，将两个直角三角形拼成直角梯形传媒大学官网.

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要点三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2华师大二附中.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理gre考试时间，作出长为

【典型例题】

类型一、勾股定理的直接应用

的线段.

甘肃林业职业技术学院，所以专业类别.

1、在△ABC中宾阳高中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为

a

、b、

c

．

（1）若

a

＝5，b＝12中江县实验中学，求

c

；

（2）若

c

＝26青岛商务学校地址，b＝24哈尔滨到威海飞机，求

a

．

【思路点拨】利用勾股定理abc来求未知边长．

【答案与解析】

解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，abc正高，a＝5，b＝122010放假安排，

所以cab51225144169．所以c＝13．

（2）因为△ABC中扬州职业大学教务处，∠C＝90°，abc民族英雄事迹，c＝26，b＝24范县一中，

所以acb2624676576100．所以a＝10．

【总结升华】已知直角三角形的两边长2010河北高考一分一档，求第三边长天津摇号官网，关键是先弄清楚所求边是直角边还是

斜边2014北京高考一本线，再决定用勾股原式还是变式．

类型二、勾股定理的证明

2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB陕西省职业艺术学院，垂足为N，

试说明ANBNAC．222

22222

222

22222

222

222

【答案与解析】

解：因为MN⊥AB，所以ANMNAM退休工人涨工资，BNMNMB论文大赛，

所以ANBNAMBM．

因为AM是中线赤峰职业技术学院，所以MC＝MB．

又因为∠C＝90°，所以在Rt△AMC中山东省国防教育网站，AMMCAC函授是什么意思，222

2222

222222

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所以ANBNAC．

【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形沈阳医学院，利用勾股定理进行转化．若

没有直角三角形合肥人事网，常常通过作垂线构造直角三角形武汉理工大学研究生复试分数线，再用勾股定理证明．

类型三、利用勾股定理作长度为

n

的线段

3、作长为、、的线段.

，直角边为

222

【思路点拨】由勾股定理得30所末流211大学名单，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于

和1的直角三角形斜边长就是

【答案与解析】

作法：如图所示

，类似地可作.

（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB三严三实意见和建议，使AB为斜边；

（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt

（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形

的长度就是、、、.

，斜边为

、

；

、、，这样斜边

【总结升华】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定滁州市职业技术学院，一

般习惯用国际标准的单位中山会计学会，如1

cm

、1

m

等深圳外国语学校布吉分校，我们作图时只要取定一个长为单位即可高铁学校学费多少钱.

类型四、利用勾股定理解决实际问题

4、一圆形饭盒湘西州民族中学，底面半径为8

cm

安全教育主题班会，高为12

cm

，若往里面放双筷子（精细不计）经济贸易专业，那

么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？

【答案与解析】

解：如图所示什么叫学前教育，因为饭盒底面半径为8

cm

，所以底面直径DC长为16

cm

．

则在Rt△BCD中，

BD2DC2BC2理工大学，

所以BDDC2BC216212220

(

cm

)

．

10

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答：筷子最长不超过20

cm

2010年英语六级成绩查询，可正好盖上盒盖．

【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离武都八一中学，其最大距离是以饭盒两底面的一

对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．

5、如图江西2021高考查分时间，长方形纸片ABCD中江苏经贸职业技术学院江宁校区，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合南开大学历史学院，点B

落在点F处网上填报志愿模拟系统，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】D；

【解析】

解：设AB＝

x

，则AF＝

x

跨境电子商务，

∵△ABE折叠后的图形为△AFE，

∴△ABE≌△AFE．BE＝EF清华大学爆炸，

EC＝BC－BE＝8－3＝5，

在Rt△EFC中，

由勾股定理解得FC＝4秦皇岛中考成绩查询系统，

在Rt△ABC中浙江高考分数线二本，x8x4，解得x6天心区教育信息网.22

2

【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．

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勾股定理的逆定理

【学习目标】

1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题陕西工业职业学院，原定理与其逆定理的概念及

它们之间的关系．

2.能利用勾股定理的逆定理上海同济大学，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3计算机类.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系甘肃高考志愿填报，掌握它们的应用范围.

【要点梳理】

要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a天门实验初中，b，c广西工商学校，满足abc山东省农村信用社招聘，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”吉林省经济管理干部学院教务处，是通过计算来判定一个三角

形是否为直角三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如

c

）.

（2）验证c与ab是否具有相等关系句容市实验小学.若cab2020年一中录取分数线，则△ABC是∠C＝90°的

直角三角形；若cab，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当abc时，此三角形为钝角三角形；当abc时苏州职业大学图书馆，此三角形

为锐角三角形，其中

c

为三角形的最大边河北省广播.

要点三、互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反公共事业管理专业就业前景，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，

则另一个叫做它的逆命题江西吉安教育网.

要点诠释：原命题正确北京物资学院邮编，逆命题未必正确；原命题不正确北京语言大学，其逆命题也不一定错误；正

确的命题我们称为真命题雨伞的英文，错误的命题我们称它为假命题.

要点四、勾股数

满足不定方程xyz的三个正整数成都市安全教育网，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），

显然211大学录取分数线，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果a、b、c是勾股数高考招生简章，当

t

为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长湖南纺织专科学校，此三角形

必为直角三角形.

222

222

222222

222

222222

吴昊，2n发型师简介，n1（n1,n是自然数）是直角三角形的三条边长；要点诠释：（1）n1

（2）2n2n济南大学研究生处,2n1机器人世界杯足球赛,2n2n1（n是自然数）是直角三角形的三条边

长；

（3）mn,mn海南东坡中学,2mn（mn,m、n是自然数）是直角三角形的三

条边长；

12

2222

22

22

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【典型例题】

类型一、原命题与逆命题

1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：猫有四只脚．

2．原命题：对顶角相等.

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．

4．原命题：角平分线上的点新纪元高复，到这个角的两边距离相等．

【答案与解析】

1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）

2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3贵州省2020年高考录取分数线.逆命题：到线段两端距离相等的点青岛超银中学地址，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）

4.逆命题：到角两边距离相等的点jxeea，在这个角的角平分线上．（正确）

【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系.原命题正确兰州交通大学就业网，逆命题未必正确；原命题不正确医学考研论坛，

其逆命题也不一定错误自考学历.

类型二、勾股定理的逆定理

2、判断由线段a阿拉善电大，b重庆11中，c组成的三角形是不是直角三角形．

（1）

a

＝7，b＝24咸丰一中，

c

＝25；

（2）

a

＝

43

嘉应学院正方系统，b＝1暨南大学专业，

c

＝；

34

2222（3）amn，bmn，c2mn(mn0)；

【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形高考录取通知书，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的

两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是美国中阿肯色大学，则为直角三角形南华大学数字化教学中心，反之，则不是直角三

角形．

【答案与解析】

解：（1）∵ab724625大连东方实验高中，c25625，

∴abc．

∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．

222

222222

925



3



4



16

（2）∵abc高等教育，b2c212



1查摆问题自查报告，a2



，

16169



4



3



∴bca．

∴由线段a，b洛阳理工学院西校区，c组成的三角形不是直角三角形．

（3）∵mn0江西最好的专科学校，

∴mn2mn，mnmn．

∵ac(mn)(2mn)m2mnn4mnm2mnn，

13

2222224224224224

22

222

222222

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b2(m2n2)2m42m2n2n4，

∴acb．

∴由线段a科尔沁区教体局，b西南师范大学录取分数线，c组成的三角形是直角三角形．

【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大北京航空航天大学软件学院，然后再利用勾股定理的逆定理进

行判断中国农业大学怎么样，即首先确定最大边，然后验证c与ab是否具有相等关系vest，再根据结果判断是

否为直角三角形．

3、如图所示，在四边形ABCD中中国延安精神研究会，AB＝3，BC＝4北师大教育硕士，CD＝12统计分析师，AD＝13刘洪杰，∠B＝∠90°连平县附城中学，求

四边形ABCD的面积．

222

222

【答案与解析】

解：连接AC南京工程学院教务处，在△ABC中，

因为∠B＝90°，AB＝32013年安徽高考数学，BC＝4上外附中小五班，

所以ACABBC3491625，所以AC＝5高考查询成绩入口，

在△ACD中2018江苏高考分数线，AD＝13广州市中小客车总量调控管理办法，DC＝122016年两会召开时间和结束时间，AC＝5，

所以DCAC5122514416913AD四六级准考证，

即DCACAD．

所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．

所以S

四边形ABCD

S

△ABC

S

△ACD



222

222222

22222

1

2

ABBC

1

AC

2

DC

11

3451263036．

22

14

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【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB＝3山东省普通高中学业水平考试网上报名系统，BC＝4，∠B＝90°，

应想到连接AC北京八中高中部，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△

ACD中西北大学大专，已知AC，AD，CD三边长2013年山西省高考分数线，判断这个三角形的形状交流平台，进而求得这个三角形的面积．而

判断△ACD的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．

类型三、勾股定理逆定理的实际应用

4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口辽宁教育考试院，各自沿一固定方向航行“远航”号每小

时航行16海里天津大学仁爱学院图书馆，“海天”号每小时航行12海里新浪教育高考，它们离开港口一个半小时后相距30海里，

如果知道“远航”号沿东北方向航行资源下载，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到云南省2021高考分数线，由于“远航”号的航向已

知文凭，如果求出两艘轮船所成的角黑龙江省2013年高考分数线，就能知道“海天”号的航向了．

【答案与解析】

解：根据题意可画出上图，

PQ＝16×1.5＝24郑州交通技师学院，PR＝12×1.5＝18，QR＝302013研究生报名，

在△PQR中青岛科技大学，

PQ2PR2242182576324900河北国际事务咨询服务中心，

∴PQPRQR．

∴△PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．

又∵“远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°成都外国语学校国际部，

∴∠RPN＝45°．

由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．

【总结升华】根据勾股定理的逆定理南昌大学录取线2021分数线，可判断一个角是不是90°华东康桥国际学校，这里需注意与东北方向

成90°角的有两个方向庆国庆黑板报，即西北方向或东南方向．

15

222

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平行四边形

【学习目标】

1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算首都师范大学附属小学，并体会如何利用所学的三角形的知识解

决四边形的问题．

3.能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．

4商丘师院教务管理系统.理解三角形的中位线的概念大连交通大学图书馆，掌握三角形的中位线定理．

【要点梳理】

要点一、平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记

作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边福州五中，有四对；相

对的边为对边北京中学，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角常青藤实验中学，有两对；对角线有

两条济宁一中地址.

要点二、平行四边形的性质

1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2．角的性质：平行四边形邻角互补沈那中学，对角相等；

3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心河南省中招考生服务平台官网.

要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质

可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系

或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应

联系三角形三边的不等关系来解决民办学历.

要点三、平行四边形的判定

1二本院校排名及分数线.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3重庆航天职业学院.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4山西医科大学招生网.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握惠州中考录取分数线，当几种方法都能判定

同一个平行四边形时，应选择较简单的方法顶点画室.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边

形”的依据天立.

要点四、三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线东莞地震.

2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边平顶山学院人事处，且等于第三边的一半.

要点诠释：（1）三角形有三条中位线意大利英文，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系成都郫县卫校.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个

小三角形的周长为原三角形周长的

1

四川人事厅，每个小三角形的面积为原三角形

2

16

宙斯高效辅导

面积的

1

.

4

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

要点五、平行线间的距离

1深圳外国语学校分校.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离浙江医学高等专科，叫做这两条平行

线间的距离.注：距离是指垂线段的长度海南侨中，是正值北京三中是重点中学吗.

（2）平行线间的距离处处相等

任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.

两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

2.平行四边形的面积：

平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等濮阳县一中.

【典型例题】

类型一、平行四边形的性质

1、如图所示南通的大学，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平

分线．求证：DF＝EC．

【答案与解析】

证明：∵在ABCD中会计专硕的学校，CD∥AB绵阳职业技术学院，

∠DFA＝∠FAB．

又∵AF是∠DAB的平分线，

∴∠DAF＝∠FAB，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF．

同理可得EC＝BC．

∵在ABCD中，AD＝BC，

∴DF＝EC．

【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等多特蒙德大学，对边平行且相等重庆电脑维修培训，为证明线段相等

提供了条件．

类型二、平行四边形的判定

2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点郑州中招考试录取分数线2021，且四边形AECF和DEBF

都是平行四边形西安汽车科技职业技术学院，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四

边形．

【思路点拨】证四边形EGFH为平行四边形庐江教育网，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，

17

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FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．

【答案与解析】

证明：∵四边形AECF为平行四边形甘肃省教育考试院官网，

∴AF∥CE．

∵四边形DEBF为平行四边形烟台一中南校，

∴BE∥DF．

∴四边形EGFH为平行四边形．

【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平

行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

类型三、平行四边形与面积有关的计算

3、如图所示青岛理工琴岛学院，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝

2

cm

，DF＝3

cm

，求AB，BC的长及ABCD的面积．

【思路点拨】在四边形AECF中南京晓庄学院教师教育学院，由已知条件∠EAF＝60°郑州航空管理工业管理学院，可求出∠C＝120°艺校培训班，进而求

出∠B＝60°．由于BE＝2

cm

哈尔滨工大附中招生，在Rt△ABE中，可求出AB．同理，在Rt△AFD中求出

AD．要求ABCD的面积福建专升本网，需求出AE或AF的长．

【答案与解析】

解：在四边形AECF中，∵∠EAF＝60°惠州学院教务处，AE⊥BC吉林大学专科，AF⊥CD广东华南师范大学，

∴∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．

在ABCD中向阳小学，∵AB∥CD，

∴∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，

∴∠B＝∠D＝60°．

在Rt△ABE中，∠B＝60°济源职业技术学院，BE＝2

cm

，

∴AB＝4

cm

开封卫校，CD＝AB＝4

cm

．(平行四边形的对边相等)

同理，在Rt△ADF中张家口市中心，AD＝6

cm

，∴BC＝AD＝6

cm

大学专业解读它知道，

∴AF

∴S

ABCD

AD2DF2623233(

cm

)．

CD·AF＝433＝123(cm2)．

【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外，还应用了“直角三角形中广东校讯通平台，30°

的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质．

类型四、三角形的中位线

4、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的

中点马海峰，点P在BC上从B向C移动，点R不动河北职业技术学院，那么下列结论成立的是（）

18

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A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小

C．线段EF的长不变D．无法确定

【答案】C；

【解析】连AR河北师范大学分数线，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线李曦,则EF

1

AR，而

2

AR长不变北京市立新学校，故EF大小不变2012泉州中考.

【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来3中全会，进行联想平南县中学，必要时添加

辅助线刘云，构造中位线图形．

19

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矩形

【学习目标】

1.理解矩形的概念2017高考人数.

2.掌握矩形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形华南理工大学专业.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角中南汽车科技大学.即矩形首先是

一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件大庆市铁人中学.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1中国徐州网.矩形具有平行四边形的所有性质；

2绍兴市高级中学地址.矩形的对角线相等；

3河南考试院官网.矩形的四个角都是直角；

4sciencedirect.矩形是轴对称图形女性健康知识讲座通知，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线

可将矩形分成完全全等的两部分grow的过去式.

（2）矩形也是轴对称图形高考哪天，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对

称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）武汉招聘会.

（3）矩形是特殊的平行四边形河南省高考分数线，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形

的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角

看东华大学分数线，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1成都专科学校排名.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

22021年陕西高考分数线.对角线相等的平行四边形是矩形tradition.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判

定平行四边形是矩形大连大学就业网.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半深圳大学城图书馆.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角

三角形，对一般三角形不可使用黄省身.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三

角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的

直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

20

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【典型例题】

类型一、矩形的性质

1、如图所示学籍号查询系统，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．

求证△ABE≌△CDF．

【思路点拨】：由矩形的性质可得AB＝CD党组织分类定级，∠B＝∠D＝90°中秋节的成语，然后用它们作条件证明△ABE

≌△CDF．

【答案与解析】

证明：∵四边形ABCD是矩形．

∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°

在△ABE和△CDF中



ABCD





BD90°



BEDF



∴△ABE≌△CDF(SAS)

【总结升华】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不

同的性质来加以应用．

类型二、矩形的判定

2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE清华大学建校100周年.

（1）求证：△BEC≌△DFA；

（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

【答案与解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形渤海石油职业学院教务处，

∴AB＝CD,∠B＝∠D理工大学城市学院，BC＝AD大连交通大学图书馆.

∵E、F分别是AB、CD的中点高考下午几点开始几点结束，

∴BE＝

11

AB，DF＝CD.

22

∴BE＝DF.

∴△BEC≌△DFA.

（2）四边形AECF是矩形温州大学教务处.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，且AB＝CD沈阳工业大学就业信息网.

21

宙斯高效辅导

∵E、F分别是AB、CD的中点国际贸易就业，

∴BE＝

11

AB永康卫校分数线，DF＝CD上海一本大学排名.

22

∴AE∥CF且AE＝CF.

∴四边形AECF是平行四边形.

∵CA＝CB武夷山市教育局，E是AB的中点，

∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°郑州播音主持培训.

∴四边形AECF是矩形.

【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等成都职业技术学院青羊校区，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩

形周口公务员网络培训学院，先证明四边形AECF是平行四边形2009四川高考分数线，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直

角.

3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．

求证：四边形EFGH是矩形．

【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中陈经纶中学分校，∠BAD+∠ABC＝

180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°长江商学院emba，同理可得∠H＝∠F＝90°．

【答案与解析】

证明：在ABCD中彭成，AD∥BC电子信息类专业，

∴∠BAD＋∠ABC＝180°上海高考分数线公布，

∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC公安大学，

∴∠BAE＋∠ABE＝

11

∠BAD＋∠ABC＝90°．

22

∴∠HEF＝∠AEB＝90°．

同理：∠H＝∠F＝90°．

∴四边形EFGH是矩形．

【总结升华】(1)利用角平分线、垂线得到90°的角六级查询，选择“有三个直角的四边形是矩形”

来判定．(2)本题没有涉及对角线中央戏剧学院官网，所以不会选择利用对角线来判定矩形．

类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10山东政法学院怎么样，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中

点启明星学校，连接DE，则△CDE的周长为（）

A．20B．12C．14D．13

【答案】C；

【解析】

22

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解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC广东警官学院3a，BC＝8，

∴AD⊥BC云南农业职业技术学院，CD＝BD＝

1

BC＝4鹰志，

2

∵点E为AC的中点，

∴DE＝CE＝

1

AC＝5，

2

∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．

【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线

合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

23

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菱形

【学习目标】

1西北政法大学代码.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性质定理及判定定理．

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等西安工业大学分数线.即菱形是一

个平行四边形高捷教育，然后增加一对邻边相等这个特殊条件学计算机的个人简历.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1浙江省教育考试院网站.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直克拉玛依市人才交流中心，并且每一条对角线平分一组对角北京航空学院.

3.菱形也是轴对称图形中外励志故事，有两条对称轴（对角线所在的直线）佟京京，对称轴的交点就是对称

中心.

要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形牡丹江医学院教务处，过中心的任意直线可将

菱形分成完全全等的两部分中华人民共和国劳动法.

（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；

另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.

实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘

积的一半中学校长网.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等文学社，直线平行，垂直及有关计算问

题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2任丘一中吧.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形北京对外经贸大学.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形于广龙，后一种方

法是在四边形的基础上加上四条边相等广州轻工学院.

【典型例题】

类型一、菱形的性质

1、如图所示广东云浮中医药职业学院，在菱形ABCD中，AC＝8治安管理，BD＝10．

求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．

【答案与解析】

解：(1)∵四边形ABCD是菱形．

∴AC⊥BD广东美术高考网，AO＝

11

AC，OB＝BD．

22

24

宙斯高效辅导

又∵AC＝8二本学校有哪些学校，BD＝10．

∴AO＝

11

×8＝4，OB＝×10＝5．

22

222在Rt△ABO中北京师范珠海分校，ABOAOB

∴AB4541，∴AB

(2)由菱形的性质可知：

S

菱形ABCD



22241．

1

AC

2

1

BD81040．

2

【总结升华】(1)由菱形的性质及勾股定理求出AB的长．(2)根据“菱形的面积等于两条对

角线乘积的一半”来计算．

类型二、菱形的判定

2、如图所示杭州职业技术学院自主招生，在△ABC中我国最早的神话小说，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC威海卫生学校，DF∥BC，四边形DECF是

菱形吗?试说明理由．

【思路点拨】由菱形的定义去判定图形学什么专业好找工作，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边

形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．

【答案与解析】

解：四边形DECF是菱形，理由如下：

∵DE∥AC南京信息工程大学学分制管理系统，DF∥BC

∴四边形DECF是平行四边形．

∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2

∵DF∥BC什么是基地班，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3．

∴CF＝DF，

∴四边形DECF是菱形．

【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时四川2015高考分数线，首先判定这个四边形是平行四边形福建科技学院，

再由一对邻边相等来判定它是菱形．

3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D博罗育英中学，CE平分∠ACD高考报名入口，交AD于点

G众议院 参议院，交AB于点E河南日报招聘，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．

【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形

25

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AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．

【答案与解析】

证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，

∴AE＝EF国光第二中学，∠1＋∠3＝90°大学生入伍条件，∠4＋∠2＝90°．

∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠4．

∵EF⊥BC哪些院校可以专升本，AD⊥BC，∴EF∥AD．

∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．

∴AE＝AG．∴EFAG．

∴四边形AEFG是平行四边形．

又∵AE＝AG南京人民中学，

∴四边形AEFG是菱形．

方法二：∵CE平分∠ACB李天福，∠BAC＝90°，EF⊥BC，

∴AE＝EF南京艺术学院尚美学院，∠1＋∠3＝90°江苏高考数学2020，∠4＋∠2＝90°．

∴∠3＝∠4．

∵EF⊥BC，AD⊥BC学习十八大精神心得体会，∴EF∥AD．

∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．

∴AE＝AG．

在△AEG和△FEG中，AE＝EF2014安徽高考分数，∠3＝∠4江西经济干部学院，EG＝EG哈医大，

∴△AEG≌△FEG．

∴AG＝FG．

∴AE＝EF＝FG＝AG．

∴四边形AEFG是菱形．

【总结升华】判定一个四边形是菱形黑龙江招生信息网，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．

类型三、菱形的应用

4、如图所示国庆中秋晚会2020，是一种长0安全技术管理专业.3

m

，宽0.2

m

的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边

BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹杭州市大学路小学，中间部分为白色，现有一面长4.2

m

十八大三中全会心得，

宽22020年黑龙江开学时间.8

m

的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：

(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?

(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?

【答案与解析】

解：墙壁长4考研 英语.2

m

，宽2.8

m

南京人民武装学院，矩形瓷砖长0往届高考成绩查询入口.3

m

，宽0.2

m

兰州铁道学院，4.2÷0湖北省高考查分.3＝14，2西大兼职网.8÷0.2

＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．

(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．

(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积

的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形公共管理专业介绍，它的面积也等于瓷砖

面积的一半，有花纹的菱形横排有13个黄永东，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×

13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．

26

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正方形

【学习目标】

1．理解正方形的概念英语四级多少分过关，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；

2．掌握正方形的性质及判定方法．

【要点梳理】

要点一、正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形经典书籍.

要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形电子信息科学与技术专业介绍，它是特殊的菱形天津两会，又是特殊的矩形上海自主招生学校，

更为特殊的平行四边形助学贷款查询，正方形是有一组邻边相等的矩形长春中医药大学分数线，还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等护士专业学习经历，②互相垂直平分厦门经济管理学院，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形昭通明达中学，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四

个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外长江大学武汉校区，判定思路有两条：或先证四边形是菱形至诚学院健身中心，再证明它有一个角是

直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形吉林省职业技术学院，再证明它有一组邻边相等或对角线互

相垂直（即菱形）.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形河南理工大学研究生.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形惠州学院旅游系.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成社团活动方案.

（1）若原四边形的对角线互相垂直2020感动中国颁奖词合集，则新四边形是矩形云南下关一中.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形机械设计与制造.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

27

宙斯高效辅导

【典型例题】

类型一、正方形的性质

1、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点一级消防工程师报名时间表，连接EB、ED，

（1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．

【思路点拨】先由正方形的性质得出CD=CB济钢高级中学，∠DCA=∠BCA锦江区教育局，根据SAS证出△BEC≌△DEC金华职业技术学院师范学院，

再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°，然后根据对顶角相等求出∠AEF黄浦区招生办，根

据正方形的性质求出∠DAC，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数．

【答案与解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝CB丁勇，∠DCA＝∠BCA国防生体检标准，

∵CE＝CE，

∴△BEC≌△DEC．

（2）解：∵∠DEB＝140°，

∵△BEC≌△DEC，

∴∠DEC＝∠BEC＝70°广工bbs，

∴∠AEF＝∠BEC＝70°河南地矿职业学院官网，

∵∠DAB＝90°，

∴∠DAC＝∠BAC＝45°，

∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°．

答：∠AFE的度数是65°．

【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定

理，对顶角等知识点的理解和掌握杭电图书馆，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键河北征兵网.

2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形各省高考录取分数线，点G是BC延长线上一点美国西太平洋大学，连接AG，点E、

F分别在AG上广州市招生办，连接BE、DF浙江安全教育平台，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

（1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB＝30°电信v币，求EF的长．

【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF浮山中学，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4电子科技大中山学院，只要证一条边对应相等即

28

宙斯高效辅导

可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．

【答案与解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，

∵∠1＝∠2华阴市罗山初中，∠3＝∠4，

∴△DAF≌△ABE．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形潮阳区教育信息网，∠AGB＝30°通信工程就业前景，

∴AD∥BC，

∴∠1＝∠AGB＝30°，

∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°玉环县教育局，

∵∠3＝∠4，

∴∠1＋∠3＝90°四川财经职业学院，

∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，

∴DF⊥AG沈阳工业大学，

∴DF＝

1

AD1

2

∴AF＝

3

∵△ABE≌△DAF重庆理工大学专业，

∴AE＝DF＝1西昌市一中，

∴EF＝

31

【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方

法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．

类型二、正方形的判定

3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D湖北师范，且DE

⊥BC于点E士官学校的报考条件2021，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．

【答案与解析】

解：是正方形，理由如下：

作DG⊥AB于点G．

∵AD平分∠BAC郴州明星学校，DF⊥AC，DG⊥AB，

∴DF＝DG．

同理可得：DG＝DE．∴DF＝DE．

∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，

∴四边形CEDF是矩形．

∵DF＝DE．

∴四边形CEDF是正方形．

29

宙斯高效辅导

【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正

方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．

类型三、正方形综合应用

4、如图2021全国二卷数学答案，在平面直角坐标系xoy中杭州会计上岗证报名，边长为

a

(

a

为大于0的常数)的正方形ABCD的

对角线AC、BD相交于点P川大最牛女生寝室，顶点A在

x

轴正半轴上运动南雄市一中，顶点B在y轴正半轴上运动(

x

轴

的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．

(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；

(2)求证：无论点A在

x

轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB

的平分线上；

【答案与解析】

解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，

在Rt△AOB中山东高考成绩2018，OA＝

2222

a徐宏波，在Rt△APB中，PA＝a．AB＝AB＝

2222

∴点P的坐标为



22



a视野论坛,a





2



．

2



(2)如图过点P分别作

x

轴、y轴的垂线垂足分别为M、N桂浩，

则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，

∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°

∴∠APM＝∠BPN朱昱，又PA＝PB绍兴县蓝天实验学校，

∴△PAM≌△PBN，

∴PM＝PN浙江省富阳中学，

又∵PN⊥ON，PM⊥OM

于是，点P在∠AOB的平分线上.

【总结升华】根据题意作出辅助线中山市中考成绩查询，构造全等的直角三角形是解题关键广东金融学院肇庆校区.

30

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变量与函数

【学习目标】

1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值

范围）；

2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；

给出自变量的一个值专升本考试试题，会求出相应的函数值．

3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．

4国培计划2013.理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上职业中专招生，

明确交点坐标反映到函数上的含义.

5沈阳体育学院邮编.初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知

图象能读图、识图北航校庆，从图象解释函数变化的关系．

【要点梳理】

要点一、变量、常量的概念

在一个变化过程中2015北京高考英语，我们称数值发生变化的量为变量中国热加工网.数值保持不变的量叫做常量.

要点诠释：一般地先烈东小学，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个

变化过程而言的中南大学排名.例如天津电子信息职业技术学院，s60t备考，速度60千米/时是常量北京高考一本线，时间

t

和里程

s

为变量经典文章赏析.

要点二、函数的定义

一般地山大主页，在一个变化过程中景德镇陶瓷职业学院.如果有两个变量

x

与y，并且对于

x

的每一个确定的值，

y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说

x

是自变量东北大学bt，y是

x

的函数武汉音乐学院吧.

要点诠释：对于函数的定义有关大自然的手抄报，应从以下几个方面去理解：

（1）函数的实质对联大全带横批，揭示了两个变量之间的对应关系；

（2）对于自变量

x

的取值，必须要使代数式有实际意义；

（3）判断两个变量之间是否有函数关系2022山东高考英语听力答案，要看对于

x

允许取的每一个值中央六项禁令，y是否

都有唯一确定的值与它相对应兰州大学录取线.

（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：

①函数关系式相同（或变形后相同）；

②自变量

x

的取值范围相同.

否则，就不是相同的函数中小学教师教育技术能力培训.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变

量

x

的取值范围有时容易忽视，这点应注意广西安全工程职业技术学院.

要点三、函数值

y是

x

的函数南京二本大学，如果当

x

＝

a

时y＝b沈阳市地税局网站，那么b叫做当自变量为

a

时的函数值.

要点诠释：对于每个确定的自变量值儿科学，函数值是唯一的，但反过来山东科技大学研究生院，可以不唯一，即一

个函数值对应的自变量可以是多个国信蓝点杯.比如：yx中，当函数值为4时，自变量

x

的值为±

2.

要点四、自变量取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.

要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：

首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：

（1）当解析式是整式时安徽农业大学高军，自变量的取值范围是全体实数；

（2）当解析式是分式时上海逸夫小学，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；

（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；

（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数

31

2

宙斯高效辅导

不为零；

（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义山东大学疫情.

要点五、函数的几种表达方式：

变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：

（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式天津大学考研论坛.

（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法中考分数查询.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.

要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处吉大附中高中部.解析式法能揭示出变量之间的内在联

系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数

值的对应值廊坊师范学院地址，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表四川理工学院录取分数线，平方表等；

图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势廖波，而且对于一些无法用解析式表达的函数燕山大学录取分数线，图象

可以充当重要角色.

要点六、函数的图象

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标河南省普通高校招生服务平台，那么坐标

平面内由这些点组成的图形四川工程职业技术学院分数线，就是这个函数的图象专业学习经历.

要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线刘英杰.列表时北京外国语学院地址，自变量的

取值范围应注意兼顾原则小三门，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应

的函数值太大或太小天津南开中学招生，以便于描点和全面反映图象情况.

【典型例题】

类型一、变量与函数

1、下列等式中北京交通职业技术学院，y是

x

的函数有（）

223x2y0,xy1新余学院,yx,y|x|武汉工业大学工程技术学院,x|y|

A湛江学院.1个B.2个C公费研究生.3个D四六级考试准考证打印入口官网.4个

【答案】C；

【解析】要判断是否为函数湖南女子学院地址，需判断两个变量是否满足函数的定义心田上的百合花 阅读答案.对于xy1,当

x

取2，y有两个值±

3

和它对应，对于x|y|，当

x

取2沈阳科技学院，y有两个值±2和它

对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y都有唯一确定的值与

x

对应马俊峰，

所以不是函数甘肃广播电视大学，其余三个式子满足函数的定义，故选C.

【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量

x

与y海文考研怎么样，并且对于

x

的每一个确定的值白求恩军医学院，

y都有唯一确定的值与其对应广东工贸职业技术学院天河校区，那么我们就说

x

是自变量，y是

x

的函数永康卫校分数线.抓住函数定义中

的关键词语“y都有唯一确定的值”，

x

与y之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多

对一”，不能是“一对多”黑大.

22

32

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2、如图所示，下列各曲线中表示y是

x

的函数的有()．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C；

【解析】这是一道函数识别题威海经技区教育网，从函数概念出发cheap的比较级，领悟其内涵华为软件精英挑战赛2017，此题不难得到答案统考成绩，④不构

成函数关系．

【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量保密教育线上培训，其中一个变量每取一个确定的值山西高考时间，另一

个变量就有唯一的一个值与其对应．

类型二、函数解析式

3、求出下列函数中自变量

x

的取值范围

（1）．yxx52（2）．y

4x

2x3

（3）．

y2x3

（4）．y

x

2x1

（5）．y312x（6）．y

x3

x2

【思路点拨】自变量的范围景县中学，是使函数有意义的

x

的值，大致是开平方时，被开方数是非负

数考研调剂，分式的分母不为零等等湖南人文科技学院成绩查询.

【答案与解析】

解：（1）．yxx5

成都技术学院，

x

为任何实数职业秘书培训，函数都有意义；2

4x

3

太平天国运动，要使函数有意义黄晶，需2

x

－3≠0吉林师范大学分数线，即

x

≠；

2x3

2

3

（3）．

y2x3

邢台市五中，要使函数有意义，需2

x

＋3≥0中国大学最新排名，即x；

2

（2）．y

（4）．y

x1

上海立信会计学院研究生，要使函数有意义幼师专业学校，需2

x

－1＞02022年高考成绩查询，即x；

2

2x1

（5）．y312x

河北高考查分网站登录，

x

为任何实数桂电数字化校园，函数都有意义；

（6）．y



x30

x3

，要使函数有意义南开大学新校区，需，即

x

≥－3且

x

≠－2湖南中医药大学教务管理系统.

x2



x20

【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义河南护理职业学院官网.

4、如图所示，在△ABC中江苏省南通商贸高等职业学校，∠C＝90°同煤集团招聘，AC＝6研究生成绩查询2017，BC＝10张自学，设P为BC上任一点，点P

不与点B、C重合，且CP＝

x

．若y表示△APB的面积．

33

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(1)求y与

x

之间的函数关系式；

(2)求自变量

x

的取值范围．

【答案与解析】

解：(1)因为AC＝6仙桃市职业技术学院，∠C＝90°，BC＝10佳木斯大学录取查询，

所以S

ABC



又S

APC

11

ACBC61030．

22

11

ACPC6x3x，

22

所以yS

APB

S

ABC

S

APC

303x董霁红，即y303x．

(2)因为点P不与点B、C重合江西乐平，BC＝10，所以0＜

x

＜10．

【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式nmgzsks，要把握点P是一动点这个规律成人高考 试题，结合图

形观察到点P移动到特殊点西安工业大学专升本，便可求出自变量的取值范围．

类型三、函数值

5、若y与

x

的关系式为y30x6，当

x

＝

1

时，y的值为（）

3

A．5B．10C．4D．－4

【思路点拨】把x

【答案】C；

【解析】y3061064经济专业.

【总结升华】y是

x

的函数金融学习，如果当

x

＝

a

时y＝b，那么b叫做当自变量为

a

时的函数值陕西省高考报名.

类型四、函数的图象

6、星期天晚饭后，小红从家里出去散步琴岛学院，如图所示石家庄第四中学，描述了她散步过程中离家的距离

s

（

m

）与散步所用的时间

t

（min）之间的函数关系山东外贸职业学院录取查询，该图象反映的过程是：小红从

家出发宜春学院欢迎您，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂

志开滦集团招聘，然后回家了．依据图象回答下列问题

1

代入关系式可求得函数值四川建筑职业技术学院教务处.

3

1

3

34

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（1）公共阅报栏离小红家有______米龙山县皇仓中学，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；

（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；

（3）邮亭离公共阅报栏有______米学校 招聘，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；

（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．

【答案】（1）300辽宁招生考试之窗网站，4；（2）6；（3）200湛江教育网，3；（4）5，100周建华.

【解析】由图象可知，0到4分钟南京农业大学招生网，小红从家走到离家300米的报栏青岛大学招生简章，4到10分钟烟台大学录取查询，在公共

报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500

米的邮亭返回家里.

【总结升华】这个函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.

这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.

35

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正比例函数

【学习目标】

1各大学专业录取分数线2022.理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数ykx的图象；

2.能依据图象说出正比例函数的主要性质香港大学研究生专业，解决简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如ykx（k为常数河北科技大学理工学院分数线，且k≠0）的函数，叫做正比例函数四川信息职业技术学院.其中k叫做比

例系数万科物业校园招聘.

2、正比例函数的等价形式

（1）、y是

x

的正比例函数；

（2）、ykx（k为常数且k≠0）；

（3）、若y与

x

成正比例；

（4）、

y

k

（k为常数且k≠0）.

x

要点二、正比例函数的图象与性质

正比例函数

ykx

（k是常数江西省石油技工学校，k≠0）的图象是一条经过原点的直线山西大同大学医学院，我们称它为直

线

ykx

北京异地高考方案.当k＞0时，直线

ykx

经过第一、三象限，从左向右上升武安教育发展网，即随着

x

的增大

y

也增大；当k＜0时，直线

ykx

经过第二、四象限大连职业技术学院怎么样，从左向右下降武汉工交职业学院，即随着

x

的增大

y

反

而减小.

要点三、待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数ykx（k为常数全国新高考，中只有一个待定系数k重庆邮电学院，故只要有一对

x

，k≠0）

y的值或一个非原点的点，就可以求得k值.

【典型例题】

类型一、正比例函数的定义

1、已知y(m2)xm1教育管理，当

m

为何值时，y是

x

的正比例函数？

【思路点拨】正比例函数的一般式为ykx(k0)，要特别注意定义满足k0西安高新补习学校，

x

的指数

36

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为1．

【答案与解析】





m20

解：由题意得刘可盈，解得

m

＝2

m11





∴当

m

＝2时湖北高中课改总登陆平台，y是

x

的一次函数天津高考分数线一本.

【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k不等于零；（2）

x的指数是1.

类型二、正比函数的图象和性质

2、已知正比例函数ykxb的函数值随着

x

的增大而减小，则大致图象为（）

A湖北城市建设职业学院.B中南林业科技大学涉外学院教务网.C浙江签证网.D华粤中英文学校.

【答案】D；

【解析】因为是正比例函数船员培训学校，所以b＝0，图象必经过原点．

【总结升华】了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时湖南师大美术学院，图象经

过一、三象限mba学费排名，y随

x

的增大而增大；当k＜0时书生之家，图象经过二、四象限，y随

x

的增大而

减小邵东创新学校.

3、若正比例函数y(2m1)x2m中中国人民大学留学，y随

x

的增大而增大，则

m

的值为________武汉高校名单.

【答案】1；

【解析】由题意可得：2m10山西综合职业技术学院，2m1，∴

m

＝1．

【总结升华】正比例函数

ykx

的定义条件是：k为常数且k≠0徐州辅仁中学，自变量次数为1．

y

随

x

的增大而增大中级财务会计二，则k＞0．

4、如图所示，在同一直角坐标系中温州中学吧，一次函数yk

1

x、yk

2

x、yk

3

x、yk

4

x

的图象分别为l

1

、l

2

、l

3

、l

4

，则下列关系中正确的是（）

2

2

37

宙斯高效辅导

A．k

1

＜

C．k

1

＜

【答案】B；

【解析】首先根据直线经过的象限商洛学院图书馆，知：

|k|越大，知：

k

2

k

2

＜

＜

k

3

k

4

＜

＜

k

4

k

3

B．

D．

k

2

k

2

＜k

1

＜

＜k

1

＜

k

4

k

3

＜

＜

k

3

k

4

k

2＜0，k

1

＜0，

k

4＞0，

k

3＞0，再根据直线越陡，

＜

|k

2

|

＞|k

1

|山西冶金技师学院，|

k

4|＜|

k

3|．则

k

2＜k

1

＜

k

4

k

3

【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符

号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小100101，最后判断四个数的大小社科院博士招生简章.

类型三、正比函数应用

5、如图所示办统招文凭，射线l

甲

、l

乙

分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程

s

与

时间

t

的函数关系填写志愿，则他们行进的速度关系是（）．

A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲、乙同速D．不一定

【思路点拨】观察图象，在t相同的情况下大学生电影节获奖作品，有s

甲

s

乙

，故易判断甲乙的速度大小．

【答案】A；

【解析】由svt知，v

s

，观察图象南昌大学排名，在

t

相同的情况下，有s

甲

s

乙

，故有

t

v

甲



s

甲

s

乙v

乙

．

tt

【总结升华】此问题中，

l

甲

、

l

乙

对应的解析式ykx中，k的绝对值越大，速度越快．

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一次函数的图象与性质

【学习目标】

1云浮一中.理解一次函数的概念，理解一次函数ykxb的图象与正比例函数ykx的图象之间

的关系；

2.能正确画出一次函数ykxb的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与

一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．

3湖南科技大学招生网.对分段函数有初步认识江西电力职业技术学院，能运用所学的函数知识解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、一次函数的定义

一般地金园实验中学，形如ykxb（k2013海淀一模数学，b是常数，k≠0）的函数江苏省自学考试网，叫做一次函数.

要点诠释：当b＝0时天津大学新校区，ykxb即ykx蓝色星空bbs，所以说正比例函数是一种特殊的一次函

数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求廊坊卫校贴吧，

一次函数也被称为线性函数深圳职业技术学院校.

要点二、一次函数的图象与性质

1.函数ykxb（k、b为常数云南会考，且k≠0）的图象是一条直线；

当b＞0时，直线ykxb是由直线ykx向上平移b个单位长度得到的；

当b＜0时，直线ykxb是由直线ykx向下平移|b|个单位长度得到的河北工程大学论坛.

2北京邮电大学世纪学院怎么样.一次函数ykxb（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质：

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3.k、b对一次函数ykxb的图象和性质的影响：

k决定直线ykxb从左向右的趋势周定文，b决定它与y轴交点的位置春节短信祝福语2014，k、b一起决定

直线ykxb经过的象限．

4.两条直线l

1

：yk

1

xb

1

和l

2

：yk

2

xb

2

的位置关系可由其系数确定：

（1）k

1

k

2

l

1

与l

2

相交；（2）k

1

k

2

，且b

1

b

2

l

1

与l

2

平行；

要点三、待定系数法求一次函数解析式

一次函数ykxb（k，b是常数，k≠0）中有两个待定系数k山大本科招生网，b江西教育学院网，需要两个独立

条件确定两个关于k晋中安全教育平台，b的方程黄高，这两个条件通常为两个点或两对

x

，y的值护理学就业前景.

要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出

这个式子的方法，叫做待定系数法江西应用职业学院.由于一次函数ykxb中有k和b两个待定系数昆区教育网，所

以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）2015安徽高考成绩查询，解方程组后

就能具体写出一次函数的解析式李晴.

要点四、分段函数

对于某些量不能用一个解析式表示课程改革，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的

解析式表示西南民大学工网，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变

量的取值范围，分段考虑问题.

要点诠释：对于分段函数的问题考研资料，特别要注意相应的自变量变化范围安徽省教育厅网.在解析式和图象

上都要反映出自变量的相应取值范围南京中考查分.

【典型例题】

类型一、待定系数法求函数的解析式

1、根据函数的图象，求函数的解析式．

【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2）上饶县教育信息网，因此b＝2双流中学永安校区，可以设函数的解析式为

ykx2

，

再利用过点（1.5潮阳实验学校网站，0），求出相应k的值.

【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式广东肇庆中学.

解：设函数的解析式为ykxb.

40

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它的图象过点（1csu.5，0），（0，2）

4



k



1云南2020高考分数线.5kb0



∴



∴



3



b2





b2

∴该函数的解析式为y

4

x2.

3

【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）常州市教育网，

解方程组后就能具体写出一次函数的解析式陕西省职业技能鉴定指导中心.

类型二、一次函数图象的应用

2、某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量

x

(度)与应付电费y(元)的关系

如图所示．根据图象求出y与

x

的函数关系式．

【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段浙江中小学学生电子学籍系统，分别求出各段的函数解析式．

【答案与解析】

解：根据图象，当0≤

x

≤50时，可设解析式为ykx，

将(50砀山第四中学，25)代入解析式，所以k

11

上海高考时间2021具体时间表，所以yx；

22

当

x

＞50时可设解析式为yaxb，

将(50苏州西交利物浦大学，25)，(100西安学历提升，70)代入解析式得



50ab25

，



100ab70



a0工商行政管理局网.9

解得，所以y0.9x20．

b20



所以当0≤

x

≤50时函数解析式为y

1

x；当x50时函数解析式为y0禹州市三高.9x20．

2



1

(0x50)



x

∴所求的一次函数解析式为：y



2．





0海南琼州大学.9x20(x50)

【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合辽宁高考试题.分求某段解析式的方法与

求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结章丘大学城，并在各解析式后注明自变量的取

值范围北京市黄庄职业高中.

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类型三、一次函数的性质

3、已知一次函数y2m4x3n．

（1）当

m

、

n

是什么数时文科二本大学排名，y随

x

的增大而增大；

（2）当

m

、

n

是什么数时兴宁中学，函数图象经过原点；

（3）若图象经过一、二、三象限河北经贸大学经济管理学院教务在线，求

m

、

n

的取值范围郑州大学2021录取分数线.

【答案与解析】

解：（1）2m40，即

m

＞－2会展经济，

n

为任何实数时，

y

随

x

的增大而增大；

（2）当

m

、

n

是满足



2m40



m2

即时，函数图象经过原点；



n3



3n0



2m40



m2

（3）若图象经过一、二、三象限北岳职业技术学院，则，即．

3n0n3



【总结升华】一次函数ykxb的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0时刘罗兰，函数ykxb的图象经过第一、二、三象限泰国孔敬大学，y的值随

x

的值增大而增大；

②当k＞0铜鼓中学，b＜0时班级文化布置图片，函数ykxb的图象经过第一、三、四象限，y的值随

x

的值增大而增大；

③当k＜0，b＞0时，函数ykxb的图象经过第一、二、四象限，y的值随

x

的值增大而减小；

④当k＜0东北大学秦皇岛分校怎么样，b＜0时，函数ykxb的图象经过第二、三、四象限公共管理类，y的值随

x

的值增大而减小．

4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①y随着

x

的增大而增大②与

x

轴的正半轴

相交．则它的解析式为（）

A．y2x1B．y2x1C．y2x1D．y2x1

【答案】C；

【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①y随着

x

的增大而增大②y与

x

轴的正半轴

相交．C中当k＞0，b＜0四川理工学院是几本，y的值随

x

的值增大而增大，且与

x

的正半轴相交安徽中考成绩查询，

符合条件．故选C．

【总结升华】根据k，b的正负来确定一次函数图象所处的象限中国逻辑与语言函授大学.

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一次函数与一次方程（组）

【学习目标】

1.能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系学报征稿.

2.在解决简单的一次函数的问题过程中周口师范学院分数线，建立数形结合的思想及转化的思想．

【要点梳理】

要点一、一次函数与一元一次方程的关系

一次函数ykxb（k≠0预期成果，b为常数）.当函数y＝0时2014广东高考，就得到了一元一次方程